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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
h) $f(x)=\sqrt[3]{x}, n=3, x_{0}=8$
h) $f(x)=\sqrt[3]{x}, n=3, x_{0}=8$
Respuesta
Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden \( n = 3 \) centrado en \( x = 8 \) de la función \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
La estructura del polinomio de Taylor que estamos buscando es la siguiente:
\( p(x) = f(8) + f'(8)(x - 8) + \frac{f''(8)}{2!}(x - 8)^2 + \frac{f'''(8)}{3!}(x - 8)^3 \)
Arrrrancamos...
\( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
\( f(8) = 2 \)
Vamos ahora con las derivadas de $f$. Para hacerlas, acordate que nos va a convenir tener expresado $f$ como $x^{1/3}$ ;)
\( f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
Reportar problema
\( f'(8) = \frac{1}{12} \)
Derivamos otra vez...
\( f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}} \)
\( f''(8) = -\frac{1}{144} \)
Tercera derivada y ya terminamossss...
\( f'''(x) = \frac{10}{27}x^{-\frac{8}{3}} \)
\( f'''(8) = \frac{5}{3456} \)
Ahora que ya tenemos todas las derivadas evaluadas, reemplazamos en la estructura del polinomio de Taylor que hemos escrito antes.
\( p(x) = 2 + \frac{1}{12}(x - 8) - \frac{1}{144}\frac{(x - 8)^2}{2!} + \frac{5}{3456}\frac{(x - 8)^3}{3!} \)
Reacomodamos un poco:
\( p(x) = 2 + \frac{1}{12}(x - 8) - \frac{1}{288}(x - 8)^2 + \frac{5}{20736}(x - 8)^3 \)
Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor que necesitábamos encontrar :)
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